あなたの家族と知り合いになれて非常に嬉しいです。
「高兴」は「嬉しい」で、「认识」は「知り合う」と言う意味です。「你的家人」は「あなたの家族」ということです。

これは私の得意な料理です。
「拿手」は「得意」という意味で、「菜」は「野菜」、また「料理」ということです。

たくさん食べてください。
「你多吃点儿。」は友人に食べ物をおごる場合、また一緒に食事をする場合相手によく言う言葉です。「多」は「たくさん」、「多い」という意味で、このフレーズの中の「点儿」は「少し」ということです。

今度は、私の家においでください。
「下次」は「次回」という意味で、「到」は「行く」、「着く」ということです。「我家」は日本語に訳しますと「私の家」ということです。「做客」は「客になる」という意味です。